第一节 导数与微分的概念

导数

导数与单侧导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义, 记 $\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$.

如果极限

$$\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$$

存在, 则称函数在 $x_{0}$ 处可导, 同时称上述极限值为函数在 $x_{0}$ 处的导数, 记作 $f^{\prime}(x_{0})$, 或 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}}$, 或 $y^{\prime}(x_{0})$, 或 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_{0}}$ .

如果上述极限不存在, 则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处不可导.

导数定义的另一种常用形式:

$$\lim\limits _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}.$$

设 $f(x)=x(x+1)(x+2)$, 则 $f'(0)=$ ______

▶答案

$2$

▶详解

【解】 由于 $f(0) = 0 \cdot (0+1) \cdots (0+n) = 0$, 根据导数在一点处的定义, 有

$$f'(0) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x(x+1)(x+2)}{x}$$

消去分子分母中的 $x$ 后, 直接代入 $x=0$ 得

$$f'(0) = \lim\limits_{x \to 0} (x+1)(x+2)= 1 \cdot 2 = 2.$$

设函数 $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$, 求 $f'(1)$.

▶答案

$-6$

▶详解

【解】 利用导数定义:

$$\begin{aligned} f'(1) &= \lim\limits_{x\to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \\ &= \lim\limits_{x\to 1} \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - 0}{x-1} \\ &= \lim\limits_{x\to 1} (x-2)(x-3)(x-4) \\ &= (-1) \times (-2) \times (-3) \\ &= -6 \end{aligned}$$

设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某左邻域内有定义, 若极限

$$\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=\lim\limits _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$$

存在, 则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处左导数存在, 将此极限值称为 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的左导数, 记作 $f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)$.

设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某右邻域内有定义, 若极限

$$\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=\lim\limits _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$$

存在, 则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处右导数存在, 将此极限值称为 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的右导数, 记作 $f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)$.

$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=A\Leftrightarrow f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=A$

设函数 $f(x) = \begin{cases} x|x|, & x \leqslant 0, \\ x\ln x, & x > 0, \end{cases}$ 判断 $f'(0)$ 是否存在.

▶答案

不存在

▶详解

【解】 由题设知 $f(0) = 0$. 根据左导数的定义,

$$f'_-(0) = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{x|x|}{x} = \lim\limits_{x \to 0^-} |x| = 0.$$

根据右导数的定义,

$$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x\ln x}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+} \ln x \text{（不存在）}$$

故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导.

[评注]

导数存在的充要条件是左右导数存在且相等. 本题中右导数不存在, 故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导.

求 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处的左右导数, 并说明其在 $x=0$ 处可导性.

▶答案

$f'_-(0) = -1$, $f'_+(0) = 1$, 在 $x=0$ 处不可导

▶详解

【解】 根据导数的定义, 分别考察 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处的左右导数.

对于左导数:

$$f'_-(0) = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1.$$

对于右导数:

$$f'_+(0) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{|x| - |0|}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1.$$

由于$f'_-(0) \neq f'_+(0)$, 故 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导.

若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导, 则函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续.

【注】 反之不一定.

讨论函数 $f(x)=\begin{cases}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性.

▶答案

在 $x=0$ 处连续但不可导

▶详解

【解】 (i) 连续性 由于 $|\sin \frac{1}{x}| \leqslant 1$, 而 $\lim\limits_{x \to 0} x = 0$, 根据无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量, 有

$$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0.$$

又已知 $f(0) = 0$, 故 $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$, 因此函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续.

(ii) 可导性 根据导数在一点处的定义, 考察 $x=0$ 处的极限:

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x \sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}.$$

由于当 $x \to 0$ 时, $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 之间无限次跳动振荡, 该极限不存在. 故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导.

设函数

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x \leqslant 0 \\ ax, & x > 0 \end{cases}$$

问: (1) 当 $a$ 为何值时, $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续?

(2) 当 $a$ 为何值时, $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导?

▶提示

注意函数在一点连续的定义是极限值等于该点函数值, 讨论可可导性时需要分别考察左、右导数.

▶答案

(1) $a$ 为任意实数; (2) $a = 2$

▶详解

【解】 (1) 由于 $f(0) = 0^2 + 2 \times 0 = 0$, 且函数在 $x=0$ 处的左、右极限分别为

$$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (x^2 + 2x) = 0$$$$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (ax) = 0$$

由于对任意实数 $a$, 都有 $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, 故当 $a$ 为任意实数时, $f(x)$ 在 $x = 0$ 处均连续.

(2) 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续时, 其在 $x=0$ 处的左、右导数分别为

$$f'_-(0) = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{x^2 + 2x}{x} = \lim\limits_{x \to 0^-} (x + 2) = 2$$$$f'_+(0) = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{ax}{x} = a$$

函数在 $x=0$ 处可导的充分必要条件是 $f'_-(0) = f'_+(0)$, 即 $a = 2$. 故当 $a = 2$ 时, $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导.

导函数

若 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内的每一点 $x$ 处都可导, 则称 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导.

若 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内可导, 且在点 $a$ 的右导数 $f_{\mathbf{+}}^{\prime}(a)$ 及在点 $b$ 的左 导数 $f_{-}^{\prime}(b)$ 都存在, 则称 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可导.

设函数 $y=f(x)$ 在某个区间 $I$ 上可导, 则记 $f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的 导函数，简称导数, 也记作 $y^{\prime}$ 或 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$.

利用导数定义证明下列求导公式: (1) $\left(x^{2}\right)^{\prime}=2x$; (2) $\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x}$.

▶提示

利用导数的定义 $f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ 进行展开计算, 求极限过程中优先考虑等价无穷小替换以简化运算.

▶答案

见证明

▶详解

【证明】 (1) 根据导数定义, 有

$$\begin{aligned} \left(x^{2}\right)^{\prime} &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0}(2x+\Delta x) \\ &= 2x. \end{aligned}$$

(2) 根据导数定义, 结合当 $\Delta x \to 0$ 时, $\mathrm{e}^{\Delta x}-1 \sim \Delta x$, 有

$$\begin{aligned} \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime} &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{x+\Delta x}-\mathrm{e}^{x}}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{x}(\mathrm{e}^{\Delta x}-1)}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\mathrm{e}^{x} \cdot \Delta x}{\Delta x} \\ &= \mathrm{e}^{x}. \end{aligned}$$

[评注]

求极限时经常结合等价无穷小替换(如 $\mathrm{e}^{x}-1 \sim x$)以迅速得出结果.

利用导数定义证明求导公式: $(\ln x)'=\frac{1}{x}$.

▶提示

写出定义后利用对数运算法则 $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$ 化简, 并结合等价无穷小 $\ln(1+x) \sim x$ 进行求解.

▶答案

见证明

▶详解

【证明】 根据导数定义, 结合当 $\Delta x \to 0$ 时, $\frac{\Delta x}{x} \to 0$, 且 $\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right) \sim \frac{\Delta x}{x}$, 有

$$\begin{aligned} (\ln x)^{\prime} &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(\frac{x+\Delta x }{x})}{\Delta x}\\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{\Delta x}{x} }{\Delta x} \\ &= \frac{1}{x}. \end{aligned}$$

如果函数 $y=f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 仍可导, 称 $f(x)$ 二阶可导, 把 $f^{\prime}(x)$ 的导数称为 $f(x)$ 的二阶导函数, 记作 $f^{\prime \prime}(x)$ 或 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ .

类似地, 可推广到 $f(x)$ $n$ 阶可导, $f(x)$ 的 $n$ 阶导函数记作 $f^{(n)}(x)$ .

用微分的形式描述导数, 如 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_{0}}$ 有时可以避免混淆自变量和因变量. 完成下面题目, 注意明确谁是自变量, 谁是因变量.

(1) 设 $y = \frac{1}{u}$, 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$;

(2) 设 $x = \mathrm{e}^t$, 求 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$.

▶提示

莱布尼茨导数记号 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 中的分母明确指出了自变量是谁. 第一问是对 $u$ 求导, 第二问是对 $t$ 求导.

▶答案

(1) $-\frac{1}{u^2}$; (2) $\mathrm{e}^t$

▶详解

【解】 (1) 函数 $y = u^3$ 的自变量为 $u$, 根据幂函数求导公式, 有

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} = -\frac{1}{u^2}$$

(2) 此时自变量为 $t$, 有

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \mathrm{e}^t$$

[评注]

习惯了对 $x$ 求导的同学容易产生思维定势. 莱布尼茨记号 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 明确表明此时的自变量是 $t$, 因变量是 $x$.

(1) 设 $y = \sqrt{u}$, 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$;

(2) 设 $u = \cos v$, 求 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}$.

▶提示

认清导数记号分母中的变量, 分别对自变量 $u$ 和 $v$ 运用对数函数与三角函数的求导公式.

▶答案

(1) $\frac{1}{2\sqrt{u}}$; (2) $-\sin v$

▶详解

【解】 (1) 函数 $y = u^{\frac{1}{2}}$ 的自变量为 $u$, 故

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$$

(2) 函数 $u = \cos v$ 的自变量为 $v$, 故

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v} = -\sin v$$

[评注]

无论自变量是用 $x, t, u$ 还是 $v$ 表示, 导数的基本公式 and 结构都是完全相同的. 关键在于通过微分记号准确对应好自变量.

导数的几何意义

导数的几何意义是: 若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导, 则 $f^{\prime}(x)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f(x_0)\right)$ 处的切线斜率.

可知曲线 $y=f(x)$ 在其上某点 $\left(x_0, f(x_0)\right)$ 处的切线方程为

$$y-f(x_0)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right).$$

法线方程为

$$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right) \quad\left(f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0\right).$$

【注】 若曲线 $y=f(x)$ 在曲线上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处存在切线, 但 $f(x)$ 在点 $x_0$ 不一定可导. 其切线若与 $x$ 轴垂直，则导数不存在, 例如抛物线 $x=y^2$.

求曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 在 $x=0$ 处的切线方程和法线方程.

▶提示

先求出函数在该点处的导数值, 得到切线的斜率. 根据点斜式写出切线方程. 法线斜率与切线斜率互为负倒数, 进而写出法线方程.

▶答案

切线方程为 $y=x+1$, 法线方程为 $y=-x+1$

▶详解

【解】 当 $x=0$ 时, $y=\mathrm{e}^{0}=1$, 故切点为 $(0, 1)$. 由于 $y^{\prime}=\mathrm{e}^{x}$, 故切线斜率为

$$k=y^{\prime}\Big|_{x=0}=1$$

所求切线方程为 $y-1=1 \cdot (x-0)$, 即 $y=x+1$.

法线斜率为 $-\frac{1}{k}=-1$, 故所求法线方程为 $y-1=-1 \cdot (x-0)$, 即 $y=-x+1$.

曲线 $y = \ln x$ 在 $x=1$ 处的法线方程为 ______

▶提示

计算函数在 $x=1$ 处的导数值得到切线斜率, 取其负倒数得到法线斜率, 结合切点坐标即可写出法线方程.

▶答案

$y=-x+1$

▶详解

【解】 当 $x=1$ 时, $y=\ln 1=0$, 故切点为 $(1, 0)$. 由于 $y^{\prime}=\frac{1}{x}$, 故切线斜率为

$$k=y^{\prime}\Big|_{x=1}=1$$

法线斜率为 $-1$, 从而法线方程为 $y-0=-1 \cdot (x-1)$, 即 $y=-x+1$.

微分

微分的定义

上述图像中可以发现, 当自变量 $x$ 产生了一个微小的变化 $\Delta x$ 时，曲线高度实际变化了 $\Delta y$。但是曲线太弯曲 , 这个增量不容易计算，因此我们可用切线段的垂直高度 $\mathrm{d} y$ 来近似代替 $\Delta y$ 。这个用来近似的量 $\mathrm{d} y$，就称做微分.

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义, 若 存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$ , 使得 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可表示为

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$

的形式, 则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微, 其中, 将 $A\Delta x$ 称为 $\Delta y$ 的线性主部, 亦称之为 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分, 记作

$$\mathrm{d} y\bigg|_{x=x_0} =A\Delta x.$$

可微与可导的关系

一元函数 $y=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可微 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导.

由导数定义可知 $A=f^{\prime}\left(x_{0}\right)$. 故

$$\mathrm{d} y\bigg|_{x=x_{0}}=A \Delta x=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x.$$

一般地, 若 $y=f(x)$ 在某个区间可导, 则这个区间上函数的微分为

$$\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x.$$

导数可用微分形式表示为 $f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ , 因此导数也称为微商(微分之商).

设函数 $y = x^2$. 当 $x$ 从 $2$ 变为 $2.01$ 时, 分别计算函数的增量 $\Delta y$ 和微分 $\mathrm{d}y$, 并计算两者的误差 $\Delta y - \mathrm{d}y$.

▶答案

$\Delta y = 0.0401$, $\mathrm{d}y = 0.04$, 误差为 $0.0001$

▶详解

【解】 这里 $x_0 = 2$, $\Delta x = 2.01 - 2 = 0.01$.

(1) 计算函数的增量 $\Delta y$:

$$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (2.01)^2 - 2^2 = 4.0401 - 4 = 0.0401.$$

(2) 计算函数的微分 $\mathrm{d}y$: 由于 $y' = 2x$, 故在 $x=2$ 处,

$$\mathrm{d}y = y'|_{x=2} \cdot \Delta x = (2 \times 2) \cdot 0.01 = 0.04.$$

(3) 计算误差:

$$\Delta y - \mathrm{d}y = 0.0401 - 0.04 = 0.0001.$$

一元函数连续、可导、可微的关系

对于一元函数来说: 可微 $\Leftrightarrow$ 可导 $\Rightarrow$ 连续